La suite de Fibonacci

- Catégories : Géométrie sacrée

“On ne peut pas comprendre l'univers si l'on ne s'applique pas d'abord à en comprendre la langue et à connaître les caractères avec lesquels il est écrit. Il est écrit dans la langue mathématique.”

Galileo Galilei

Aujourd’hui, un article un petit peu plus pointu qu’à l’accoutumée puisqu’on va parler de mathématiques, de nombre d’or et de suite de Fibonacci.

Qui est Fibonacci?

Leonardo Fibonacci (v. 1175 à Pise - v. 1250) est un mathématicien italien.

Il avait, à l'époque, pour nom d'usage « Leonardo Pisano » (il est encore actuellement connu en français sous l'équivalent de Léonard de Pise), et se surnommait parfois lui-même « Leonardo Bigollo » (bigollo signifiant « voyageur » en italien).

S'il est connu pour la suite de Fibonacci, il joue surtout un rôle d'une importance considérable en faisant le lien entre le savoir mathématique des Arabes, notamment des chiffres indo-arabes, et l'Occident. 

Sa publication la plus connue reste très certainement le Liber abaci (aussi écrit Liber abbaci), publié en 1202.

Le livre des calculs est un traité sur les calculs et la comptabilité fondée sur le calcul décimal à une époque où tout l'Occident utilise encore les chiffres romains et calcule sur abaque. Ce livre est fortement influencé par son enfance vécue au sud et à l'est de la Méditerranée ; il est d'ailleurs rédigé en partie de droite à gauche.

Par cette publication, Fibonacci introduit en Europe le système de notation indo-arabe importé des Indes par les invasions arabo-musulmanes. Ce système est plus puissant et plus rapide que la notation romaine, et Fibonacci en est pleinement conscient.

L'invention sera d'abord mal reçue car le public ne comprend plus les calculs que font les commerçants. En 1280, Florence interdit même l'usage des chiffres arabes par les banquiers. On juge que le zéro apporte la confusion et des difficultés au point qu'ils appellent ce système cifra, qui dérive du nom arabe du zéro (al sifr = vide, zéro). Ce serait par l'usage des nombres dans la tradition cabalistique que le mot chiffre aurait acquis le sens de code secret.

Fibonacci est plus connu de nos jours pour un de ses problèmes conduisant aux nombres et à la suite qui portent son nom, mais à son époque, ce sont surtout les applications de l'arithmétique au calcul commercial qui l'ont fait reconnaître : calcul du profit des transactions, conversion entre monnaies de différents pays utilisant des bases différentes (base 10, 12, 20).

Son travail sur la théorie des nombres est ignoré de son vivant, mais il est très largement lu pendant les deux siècles suivants. Ses travaux sont désormais très utilisés en finance de marché, et en particulier en analyse technique. 

Suite de Fibonacci : l’exemple des lapins

Dans son livre, Fibonacci présente aussi une suite numérique simple fondée sur un problème théorique de multiplication d'une population de lapins. Cette suite, la base d'une incroyable relation mathématique sous-tendant Phi, que les mathématiciens indiens connaissaient déjà au VIe siècle, a été introduite en Occident par Fibonacci.

La suite de Fibonacci peut être expliquée grâce à l'exemple suivant. Supposons deux lapins nouveau-nés, un mâle et une femelle. Supposons que les lapins sont capables de s'accoupler à l'âge de 1 mois, donc qu'à la fin de son deuxième mois de vie la femelle produira deux lapins. Supposons que nos lapins ne meurent jamais et que la femelle produit tous les mois, à partir de son deuxième mois de vie, deux autres lapins (un mâle, une femelle). 

Fibonacci se demandait combien de lapins on finirait par avoir en une année. La réponse est 144, qui est le 12e nombre de la suite de croissance ci-dessous, correspondant au 12e mois de nouveaux lapins. 

En partant de 0 et 1, chaque nouveau terme de la suite est simplement la somme des deux le précédant :

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

5 + 3 = 8

8 + 5 = 13

… etc., aboutissant à la suite suivante, portant le nom de Fibonacci :

0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

La suite de Fibonacci et le nombre d'or

Dans la suite de Fibonacci, le rapport de tous deux termes successifs converge vers phi. Pourtant le mathématicien italien n’a jamais abordé spécifiquement le nombre d’or.

Pour visualiser ce phénomène, notons que chaque valeur successive de ce rapport se rapproche de plus en plus de phi :

1/1 = 1,000000

2/1 = 2,000000

3/2 = 1,500000

5/3 = 1,666667

8/5 = 1,600000

13/8 = 1,625000

21/13 = 1,615385

34/21 = 1,619048

55/34 = 1,617647

89/55 = 1,618182

144/89 = 1,617978

233/144 = 1,618056

377/233 = 1,618037

987/610 = 1,618033

En fait, 400 ans ont passé avant que Johannes Kepler établisse un lien explicite entre les deux. Il est le premier à mentionner clairement dans une lettre de 1609 que les rapports des termes successifs de la suite de Fibonacci se rapprochent du nombre d'or. 

Spirale de Fibonacci

Si vous regardez sur internet des suites de Fibonacci, vous tomberez assurément sur des images de spirales de Fibonacci ou de spirales d'or. Vous avez vu aussi cette spirale superposée sur tout, du Parthénon à Mona Lisa, en passant par la naissance des cheveux de Donald Trump.

La Joconde et le nombre d'or

Typiquement, la spirale est créée en prenant pour base un rectangle d'or. Divisez le rectangle d'or en son point d’or et vous aurez un carré et un autre rectangle d'or plus petit. Faites pareil maintes fois avec le rectangle d'or plus petit pour créer l’image ci-dessous.

Et en y traçant un arc de cercle dans chaque carré on obtient la spirale d’or.

spirale d'or de Fibonacci

Pour une spirale apparentée, la spirale de Fibonacci, on utilise des carrés dont la longueur des côtés est égale aux termes de la suite de Fibonacci, au lieu de créer un motif successif de rectangles d'or.

spirale d'or de Fibonacci

Techniquement parlant, ce ne sont pas des spirales, mais des volutes. La différence est pratiquement imperceptible, mais une vraie est une spirale unique, équiangle (autrement dit, logarithmique), qui se développe à un rythme constant. Dans l’illustration ci-dessous, la spirale verte est construite par une succession d’arcs de cercles indépendants dans chaque carré. La spirale rouge est une vraie spirale logarithmique qui comporte le nombre d'or tous les 90 degrés (spirale équiangulaire). Les parties qui se superposent sont en jaune. 

spirale d'or de Fibonacci

Quel est l’intérêt de connaître la séquence de Fibonacci?

Si notre œil est attiré par la beauté, ce n’est pas un hasard !

Les Grecs anciens et les architectes de la Renaissance utilisèrent beaucoup phi pour établir les proportions des dimensions d’édifices qui nous émerveillent, et parfois même pour les proportions d'une simple porte ou fenêtre. 

Il suffit d'observer certaines constructions pour comprendre que phi est plus qu'un simple concept arithmétique : il est à la racine de la beauté. 

On retrouve la suite de Fibonacci dans la nature, et en fait, partout autour de nous (voir notre article sur le nombre d’or).

Les caractéristiques si particulières du nombre d'or ont captivé l'imagination d'innombrables mathématiciens, peintres, stylistes, biologistes, chimistes et même économistes. Ce nombre d'or est reflété dans certaines des plus grandes œuvres d'art et d'architecture créées au cours de l'histoire de l'humanité. Tout ne repose pas sur le nombre d'or, mais il apparaît dans une multitude vraiment stupéfiante d'endroits.

Et plus que tout, il touche notre perception de la beauté. Pour certains, cette beauté est centrée sur ses propriétés mathématiques et géométriques uniques ou sur sa capacité à créer un modèle fractal parfaitement formé. Pour d’autres il est perçu, consciemment ou non, dans la beauté de la nature, ainsi que dans le visage et le corps humain. Pour d'autres encore, intentionnellement ou non, il est exprimé dans leurs œuvres d'art et leurs conceptions créatives.

Et pour finir la question la plus importante que vous devez vous poser c'est comment et pourquoi vous percevez la beauté, pourquoi vous avez la capacité innée de voir la beauté et pourquoi vous avez aussi le besoin de l'exprimer.

Notre âme a simplement besoin de beauté pour être nourrie et se développer.

Tout comme notre corps a besoin de se nourrir d’aliments sains et équilibrés, notre âme, notre cœur, notre être véritable, a besoin de s’entourer d’objets harmonieux et lumineux.

Et c’est pour cette raison que nous avons développé tous les articles de géométrie sacrée que vous trouverez sur notre boutique en ligne !

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Sources:

Le nombre d’or aux Editions Dervy

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