Les fractales - objets mathématiques fascinants

- Catégories : Géométrie sacrée

Les fractales sont de formidables outils pour comprendre le monde et autres structures complexes. Nous les utilisons pour analyser les processus financiers, la biologie, l'informatique et les mathématiques, la compression d'images, les sciences et technologies du vivant et bien d'autres disciplines encore.

Les fractales : définition

Une figure fractale est un objet mathématique qui présente une structure similaire à toutes les échelles.

C'est un objet géométrique « infiniment morcelé » dont des détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de la figure, il est possible de retrouver toute la figure ; on dit alors qu’elle est « auto similaire ».

Les fractales sont définies de manière paradoxale, un peu à l'image des poupées russes qui renferment une figurine plus ou moins identique à l'échelle près : les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures gigognes en tout point – et pas seulement en un certain nombre de points. Cette conception des fractales implique cette définition récursive : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal (similaire).

Elles apparaissent souvent dans l'étude des systèmes chaotiques.

En mathématiques, et dit de façon plus simple, ces curiosités géométriques sont des figures dont la structure est invariante par changement d'échelle. Ainsi, si vous zoomez sur une partie d’une fractale, vous retrouvez une structure qui se reproduit encore et encore, de plus en plus petite… jusqu’à l’infini. On peut y trouver des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes.

Qui a inventé le mot fractal ? Les fractales de Mandelbrot

De nombreux exemples de fractales, comme le flocon de Koch ou le tapis de Serpiński ont été découverts à la fin du 19e siècle, mais c'est le mathématicien Benoît Mandelbrot qui, en 1975, a attiré l'attention sur ces objets et leur omniprésence dans la nature, créant à cette occasion l'adjectif « fractal » à partir de la racine latine fractus, qui signifie « brisé », « irrégulier », et de la désinence « -al » présente dans les adjectifs « naval » et « banal » (pluriels : navals, banals, fractals) ; l'usage a ensuite imposé le substantif une fractale pour désigner une figure ou une équation de géométrie fractale.

Benoît Mandelbrot définit les fractales en tant qu’objets qui ne perdent ni leurs détails ni leurs proportions si on les grossit ou si on les rétrécit, même à l’échelle microscopique. Cette propriété rappelle bien sûr phi, le nombre d’or, 1,618, pour lequel la même proportion sacrée et essentielle est conservée à chaque section de la ligne ou du rectangle.

En fait, les propriétés de phi et des fractales ont à voir avec la croissance.

Où trouve-t-on des fractales ?

Il existe deux types de fractales, les fractales géométriques et les fractales naturelles ou aléatoires.

Les structures fractales naturelles dans la nature

La structure d’un flocon est une des manifestations les plus claires des fractales dans la nature. Il se peut que cela soit dû au fait que le flocon se forme lorsque l’eau tombe librement du ciel, traversant l’atmosphère sans rencontrer aucune interférence. Aucune autre matière ne cristallise sous autant de formes.

Malgré cette variété, la géométrie qui gouverne la croissance de l’une des branches du flocon gouvernera aussi celle des autres branches. Une sorte de coordination géométrique se met en œuvre. Quelle que soit l’échelle utilisée pour observer le produit fini, le motif est identique.

Toutefois, ces figures ne présentent pas la clarté de la géométrie euclidienne, où tout est soit droit, soit circulaire, soit en courbe générée le long d’un cône.

Le flocon de Koch

En 1904, le mathématicien Helge Von Koch (1870-1924), élabora un modèle mathématique permettant de produire un seul motif de flocon. Il partit d’un simple triangle équilatéral pour générer la courbe de ce flocon.

1)  Tracez d’abord un triangle équilatéral.
2)  Superposez un deuxième triangle équilatéral inversé pour former un hexagramme.
3)  Chaque sommet est un triangle équilatéral pointant vers l’extérieur, auquel vous superposez un triangle équilatéral inversé.
4)  Effacez les traits de l’hexagramme restant dans le triangle d’origine.
5)  Répétez ce processus pour chaque pointe de l’hexagramme initial.
6)  Répétez de manière fractale, jusqu’à un niveau de détail de plus en plus fin.

La procédure qui permet de générer une fractale de Koch représentant un flocon n’est peut-être pas le reflet de ce qui se passe dans la nature un jour de grand froid, mais elle permet d’obtenir une représentation mathématique assez juste de la nature fractale du flocon.

Elle démontre aussi que si l’homme était doté d’une vision surnaturelle, il pourrait avec un crayon extra-fin, répéter la figure jusqu’à atteindre l’infiniment petit.

Les végétaux

Des fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. Ces formes ont une structure auto-similaire sur une échelle étendue, mais finie : les nuages, les flocons de neige, les montagnes, les réseaux de rivières, le chou-fleur ou le brocoli, et les vaisseaux sanguins.

Les arbres et les fougères sont de nature fractale et peuvent êtres modélisés par ordinateur à l'aide d'un algorithme récursif. La nature récursive est évidente dans ces exemples - la branche d'un arbre ou la fronde d'une fougère sont des répliques miniatures de l'ensemble : pas identiques, mais de nature similaire.


Les spirales logarithmiques

Le mathématicien et philosophe français René Descartes (1596-1650) a été le premier à décrire la spirale qu’on appelle maintenant spirale logarithmique. Toutefois, c’est le mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705), fasciné par ses extraordinaires propriétés mathématiques, qui l’a appelée spira mirabilis, "spirale merveilleuse" en latin.

Lorsque la taille de cette spirale augmente, sa forme reste la même, car elle s’élargit à un taux constant dans une progression géométrique. Ces belles spirales, appelées aussi spirales équiangles ou exponentielles, sont présentes partout dans la nature, chez les créatures vivantes, dans les ouragans galaxie et autres phénomènes naturels.

La coquille du nautile présente certaines des plus belles, gracieuses et reconnaissables spirales de la nature.

Le nautile, en passant d’une loge à une autre, plus grande, remplit la précédente de gaz et la referme complètement d’un bouchon de nacre. Il n’occupe que la dernière des loges, mais laisse derrière lui un minuscule fil qui s’enroule jusqu’à la loge d’origine. Chaque loge additionnelle est proportionnelle à la précédente, une figure géométrique dont l’angle formé avec le centre d’origine se maintient au fil de la croissance.

Le coquillage et la spirale de Mandelbrot sont en fait issus de la spirale de Fibonacci, aussi appelé spirale d'or.

Les nuages

Aussi étonnamment que cela puisse paraitre, le nuage, qui se forme par condensation de la vapeur d’eau, présente un contour morcelé et brisé qui possède le même motif lorsque l’on change d’échelle, il a une surface ayant une courbure fractale.

Comme l’eau, l’air adopte la forme d’une spirale au cours des tornades ou des tempêtes ; nous le voyons clairement sur l’image ci-dessous.

Les fractales dans l'univers

En cosmologie, le modèle de l'univers fractal désigne un modèle cosmologique dont la structure et la répartition de la matière possèdent une dimension fractale, et ce, à plusieurs niveaux. De façon plus générale, il correspond à l'usage ou l'apparence de fractales dans l'étude de l'Univers et de la matière qui le compose.

Les premières bribes sur la théorie d'un univers fractal naissent avec le mathématicien Benoît Mandelbrot. Dans son livre "Les objets fractals: Forme, hasard et dimension" paru en 1977, il mentionne que les galaxies possèdent une distribution fractale et fait une ébauche des propriétés d'une telle distribution.

Par la suite, en 1986, le physicien théoricien russe Andreï Linde écrit l'article Eternally Existing Self-Reproducing Chaotic Inflationary Universe paru dans le journal Physica Scripta où il utilise les fractales pour expliquer sa vision de l'univers. L'année suivante, le professeur italien Luciano Pietronero publie une première modélisation des galaxies selon une distribution fractale dans un article paru dans le journal Physica A.

Les fractales en mathématique : géométrie, triangle et autres figures

En mathématiques, une fractale est un espace métrique dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique. C'est du moins la définition initialement donnée par Benoît Mandelbrot, mais il l'a rapidement remplacée par une définition plus vague, permettant d'inclure par exemple la courbe de Hilbert.

Certaines formes ont une complexité plus ou moins importante.

Pour plus de précisions :
La dimension de Hausdorff d'un espace métrique (X,d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l'infini.
La courbe de Hilbert est une courbe continue remplissant un carré.

Voyons ensemble quelques exemples de fractales dans le domaine des mathématiques.

Le tapis de Sierpiński

Le tapis de Sierpiński (créé en 1916), du nom de Wacław Sierpiński, est une fractale obtenue à partir d'un carré. Le tapis se fabrique en découpant le carré en neuf carrés égaux avec une grille de trois par trois, et en supprimant la pièce centrale, et en appliquant cette procédure indéfiniment aux huit carrés restants.

Le triangle de Sierpiński

Le triangle de Sierpiński, ou tamis de Sierpińsky, également appelé par Mandelbrot le joint de culasse de Sierpiński, est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński qui l'a décrit en 1915.

Le triangle de Sierpiński peut s'obtenir à partir d'un triangle « plein », par une infinité de répétitions consistant à diviser par deux la taille du triangle puis à les accoler en trois exemplaires par leurs sommets pour former un nouveau triangle. À chaque répétition le triangle est donc de même taille, mais « de moins en moins plein ».

Construction du triangle de Sierpiński :

L'éponge de Menger

L'éponge de Menger, parfois appelée éponge de Menger-Sierpinski, est un solide fractal. Il s'agit de l'extension dans une troisième dimension de l'ensemble de Cantor et du tapis de Sierpiński. Elle fut décrite pour la première fois par le mathématicien autrichien Karl Menger (Menger 1926).

Cette figure, sortie tout droit de l’imagination de Karl Menger, ressemble à une éponge dont la forme est celle d'un cube percé d’une multitude de pores tous connectés les uns aux autres. Menger voulait ainsi prouver que l'on pouvait obtenir une surface infinie dans un volume fini.

Construction : Si l’on partage chacune des arêtes en 3 parties égales, chaque face sera formée d’un damier de neuf carrés. Commençons par vider celui du milieu. En ajoutant les parois de cette partie évidée, la superficie de la structure est alors plus grande que celle du cube d’origine. De ce fait, nous augmentons la surface sans en faire varier le volume.

Chacun des 8 carrés restants est désormais divisé en un minuscule damier de 9, dont la figure centrale est à nouveau évidée... et ainsi de suite, jusqu’à atteindre des portions microscopiques. A force de creuser dans le volume de départ, la surface ne cesse d’augmenter, certes d’une quantité de plus en plus petite, mais... sans aucune limite. Au final, on aura une dentelle tridimensionnelle qui ne débordera pas du cube d’origine.

Eponge de Menger
Pour en savoir plus. voici le lien vers Wikipédia.

Art et design fractal : quand les mathématiques riment avec beauté

L’art Fractal représente l’alliance de l’art et des mathématiques. Cette forme d’art récent utilise des ordinateurs pour fabriquer des images à partir de formules mathématiques. Les œuvres d’art fractal présentent un aspect souvent géométrique, des motifs compliqués et une grande richesse de détails.

L'art fractal est une forme d'art algorithmique qui consiste à produire des images, des animations et même des musiques à partir d'objets fractals. L'art fractal s'est développé à partir du milieu des années 1980.

C'est un genre d'art numérique.

En effet, l'art fractal est rarement dessiné ou peint à la main, mais plutôt créé à l'aide d'ordinateurs, lesquels sont en effet capables de calculer des fonctions fractales et d'engendrer des images à partir de ces dernières. C'est d'ailleurs l'apparition des ordinateurs qui a permis le développement de cet art, car il demande une grosse puissance de calcul.

L'augmentation de la puissance des ordinateurs a permis la création de logiciels permettant le calcul d'images tridimensionnelles en image de synthèse proposant ainsi les fonctions et effets habituellement réservés aux logiciels de modélisation tridimensionnelle classiques (lumières, lumières volumétriques, flou de profondeur, atmosphère, réflexion/réfraction de certains matériaux, textures, ...).

La démarche artistique pour créer une fractale en 3D est la même que pour une fractale en 2D. Le fait que Kerry Mitchell (artiste américain connu pour son art algorithmique et fractal, qui a été exposé au Nature in Art Museum, à The Bridges Conference et au Los Angeles Center for Digital Art, et pour son "Fractal Art Manifesto") ait écrit que l'art fractal était "un sous-groupe de l'art visuel bidimensionnel" ne signifie donc pas que les réalisations faites en 3D ne sont pas de l'art fractal mais que les fractales 3D n'existaient tout simplement pas encore en 1999 car la puissance des ordinateurs de l'époque ne le permettait pas et que personne n'avait encore produit une version tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot.

Où peut-on trouver de l’art fractal ?

Eh bien sachez que tous nos Mandalas sont des Mandalas fractals !

Tous nos Mandalas sont en 3D. C’est pour cette raison que souvent vous avez l’impression qu’ils bougent ! Mais c’est aussi parce qu’ils sont vivants puisqu’ils ont été créés en se reliant à la sagesse de la nature vivante.

Leur complexité est telle qu’ils sont incomparables, vous n’en trouverez de similaires nulle part ailleurs !

C’est ce qui fait aussi la richesse de notre boutique puisque nous avons à notre disposition plus de 400 Mandalas hautement vibratoires qui sont à votre disposition pour vous accompagner dans le quotidien. Chacun rayonne une énergie qui lui est propre

Comment faire ou dessiner des fractales ?

Vous l’avez compris, dessiner de l’art fractal à la main relève d'une grande complexité et semble une tentative qui risque d’être vouée à l’échec.

Un logiciel générateur de fractales est tout type de logiciel graphique qui génère des images de fractales. Il existe de nombreux programmes de génération de fractales disponibles, à la fois gratuits et commerciaux. Faites vos recherches sur Google !

Pour conclure

Il existe une grande variété d'exemples de fractales, en passant par les paysages fractals aux alvéoles du poumon. Caractérisées par un espace tridimensionnel et des propriétés d'auto similitude, les fractales sont présentes partout autour de vous et certaines de vous laisseront décidemment pas indifférents !

C'est le cas de nos Mandalas vibratoires qui aujourd'hui se répandent autour du globe.

N'hésitez pas à naviguer sur la boutique pour découvrir leur incroyable richesse et beauté.

On arrive à la fin de cet article. J'espère qu'il vous a plu, n’hésitez pas à commenter, à partager et à vous abonner à notre newsletter pour être informé(e) des prochaines parutions.

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Et si vous souhaitez aller plus loin dans la découverte des symboles, bienvenue sur cet espace / boutique dédiée à la géométrie sacrée. Vous y trouverez une multitude de mandalas fractals.

Sources :

Géométrie sacrée aux Éditions Véga
Le nombre d’or aux Éditions Dervy

Ensemble de Mandelbrot

Les fractales

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