La secuencia de Fibonacci

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"No podemos entender el universo si antes no intentamos comprender su lenguaje y conocer los caracteres con los que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático

Galileo Galilei

Hoy, un artículo un poco más especializado de lo habitual, ya que vamos a hablar de matemáticas, del número áureo y de la secuencia de Fibonacci.

¿Quién es Fibonacci?

Leonardo Fibonacci (c. 1175 en Pisa - c. 1250) fue un matemático italiano.

Su nombre común en aquella época era "Leonardo Pisano", y a veces se hacía llamar "Leonardo Bigollo" (bigollo significa "viajero" en italiano).

Aunque se le conoce por la secuencia de Fibonacci, desempeñó un importante papel en la difusión de los conocimientos matemáticos árabes, especialmente los números indoárabes, en Occidente

Su publicación más famosa es sin duda el Liber abaci (también escrito Liber abbaci), publicado en 1202.

El Libro de los Cálculos es un tratado de cálculo y contabilidad basado en el cálculo decimal en una época en la que todo Occidente seguía utilizando los números romanos y los cálculos con ábaco. El libro está fuertemente influenciado por su infancia en el sur y el este del Mediterráneo y está escrito en parte de derecha a izquierda.

Con esta publicación, Fibonacci introdujo en Europa el sistema de notación indo-árabe, que había sido importado de la India por las invasiones árabe-musulmanas. Este sistema es más potente y rápido que la notación romana, y Fibonacci es plenamente consciente de ello.

Al principio, el invento no fue bien recibido porque el público no entendía los cálculos que hacían los comerciantes. En 1280, Florencia llegó a prohibir el uso de números arábigos a los banqueros. Se consideró que el cero aportaba confusión y dificultades hasta el punto de que llamaron a este sistema cifra, que deriva del nombre árabe del cero (al sifr = vacío, cero). Sería por el uso de los números en la tradición cabalística que la palabra cifra habría adquirido el significado de código secreto.

Fibonacci es más conocido hoy en día por uno de sus problemas que dio lugar a los números y la secuencia que llevan su nombre, pero en su época fueron sobre todo las aplicaciones de la aritmética al cálculo comercial las que le hicieron famoso: cálculo del beneficio de las transacciones, conversión entre monedas de distintos países utilizando diferentes bases (base 10, 12, 20).

Su trabajo sobre la teoría de los números fue ignorado durante su vida, pero fue muy leído durante los dos siglos siguientes. Su trabajo se utiliza ahora ampliamente en las finanzas del mercado, y en particular en el análisis técnico

Secuencia de Fibonacci: el ejemplo de los conejos

En su libro, Fibonacci también presenta una sencilla secuencia numérica basada en un problema teórico de multiplicación de una población de conejos. Esta secuencia, base de una increíble relación matemática subyacente a Phi, que los matemáticos indios ya conocían en el siglo VI, fue introducida en Occidente por Fibonacci.

La secuencia de Fibonacci se puede explicar con el siguiente ejemplo. Supongamos dos conejos recién nacidos, un macho y una hembra. Supongamos que los conejos son capaces de aparearse a la edad de 1 mes, por lo que al final de su segundo mes de vida la hembra producirá dos conejos. Supongamos que nuestros conejos nunca mueren y que la hembra produce dos conejos más (un macho y una hembra) cada mes a partir de su segundo mes de vida

Fibonacci se preguntaba cuántos conejos acabaríamos teniendo en un año. La respuesta es 144, que es el duodécimo número de la secuencia de crecimiento de abajo, correspondiente al duodécimo mes de los nuevos conejos

Partiendo de 0 y 1, cada nuevo término de la secuencia es simplemente la suma de los dos que le preceden:

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

5 + 3 = 8

8 + 5 = 13

... etc., dando lugar a la siguiente secuencia, denominada Fibonacci :

0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

La secuencia de Fibonacci y la proporción áurea

En la sucesión de Fibonacci, el cociente de los dos términos sucesivos converge a phi. Sin embargo, el matemático italiano nunca abordó específicamente la proporción áurea.

Para visualizar este fenómeno, observe que cada valor sucesivo de esta relación se acerca cada vez más a phi :

1/1 = 1,000000

2/1 = 2,000000

3/2 = 1,500000

5/3 = 1,666667

8/5 = 1,600000

13/8 = 1,625000

21/13 = 1,615385

34/21 = 1,619048

55/34 = 1,617647

89/55 = 1,618182

144/89 = 1,617978

233/144 = 1,618056

377/233 = 1,618037

987/610 = 1,618033

De hecho, pasaron 400 años antes de que Johannes Kepler estableciera un vínculo explícito entre ambos. Fue el primero en afirmar claramente en una carta de 1609 que las proporciones de los términos sucesivos de la secuencia de Fibonacci se aproximan a la proporción áurea

Espiral de Fibonacci

Si busca las secuencias de Fibonacci en Internet, seguro que se encontrará con imágenes de espirales de Fibonacci o espirales de oro. También ha visto esta espiral superpuesta en todo, desde el Partenón hasta la Mona Lisa, pasando por el nacimiento del pelo de Donald Trump.

La Joconde et le nombre d'or

Normalmente, la espiral se crea tomando como base un rectángulo dorado. Divide el rectángulo dorado en su punto dorado y tendrás un cuadrado y otro rectángulo dorado más pequeño. Haz lo mismo una y otra vez con el rectángulo dorado más pequeño para crear la imagen de abajo.

Y dibujando un arco en cada cuadrado se obtiene la espiral dorada.

spirale d'or de Fibonacci

Una espiral relacionada, la espiral de Fibonacci, utiliza cuadrados cuyas longitudes laterales son iguales a los términos de la secuencia de Fibonacci, en lugar de crear un patrón sucesivo de rectángulos áureos.

spirale d'or de Fibonacci

Técnicamente hablando, no son espirales, sino volutas. La diferencia es casi imperceptible, pero una espiral verdadera es una espiral única y equiangular (es decir, logarítmica) que se desarrolla a un ritmo constante. En la siguiente ilustración, la espiral verde está construida por una sucesión de arcos independientes en cada casilla. La espiral roja es una verdadera espiral logarítmica con la proporción áurea cada 90 grados (espiral equiangular). Las partes superpuestas están en amarillo

spirale d'or de Fibonacci

¿Para qué sirve conocer la secuencia de Fibonacci?

Si nuestro ojo se siente atraído por la belleza, no es por casualidad

Los antiguos griegos y los arquitectos del Renacimiento utilizaban mucho el phi para establecer las proporciones de las dimensiones de los edificios que nos asombran, y a veces incluso para las proporciones de una simple puerta o ventana

Basta con observar ciertas construcciones para comprender que phi es más que un simple concepto aritmético: está en la raíz de la belleza

La secuencia de Fibonacci se encuentra en la naturaleza y, de hecho, a nuestro alrededor (véase nuestro artículo sobre la proporción áurea).

Las características únicas de la proporción áurea han cautivado la imaginación de innumerables matemáticos, pintores, diseñadores, biólogos, químicos e incluso economistas. La proporción áurea se refleja en algunas de las mayores obras de arte y arquitectura creadas en la historia de la humanidad. No todo se basa en la proporción áurea, pero aparece en una multitud de lugares realmente asombrosa.

Y sobre todo, afecta a nuestra percepción de la belleza. Para algunos, esta belleza se centra en sus propiedades matemáticas y geométricas únicas o en su capacidad para crear un patrón fractal perfectamente formado. Para otros se percibe, consciente o inconscientemente, en la belleza de la naturaleza, así como en el rostro y el cuerpo humanos. Para otros se expresa, intencionadamente o no, en sus obras de arte y diseños creativos.

Y, por último, la pregunta más importante que debes hacerte es cómo y por qué percibes la belleza, por qué tienes la capacidad innata de ver la belleza y por qué también tienes la necesidad de expresarla.

Nuestra alma simplemente necesita la belleza para nutrirse y crecer.

Al igual que nuestro cuerpo necesita nutrirse de alimentos sanos y equilibrados, nuestra alma, nuestro corazón, nuestro verdadero ser, necesita rodearse de objetos armoniosos y luminosos.

Y por eso hemos desarrollado todos los artículos de geometría sagrada que encontrarás en nuestra tienda online!

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Fuentes:

Le nombre d'or (El número de oro) publicado por Editions Dervy

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