Fractales: objetos matemáticos fascinantes

- Categorías : Geometría sagrada

Los fractales son grandes herramientas para entender el mundo y otras estructuras complejas. Las utilizamos para analizar procesos financieros, biología, informática y matemáticas, compresión de imágenes, ciencias y tecnologías de la vida y muchas otras disciplinas.

Fractales: definición

Una figura fractal es un objeto matemático que tiene una estructura similar en todas las escalas.

Es un objeto geométrico "infinitamente fragmentado" cuyos detalles pueden observarse a una escala elegida arbitrariamente. Al ampliar una parte de la figura, es posible encontrar la figura completa; entonces se dice que es "autosimilar ".

Los fractales se definen de forma paradójica, algo así como las muñecas rusas que contienen una figura más o menos idéntica a la escala: los objetos fractales pueden verse como estructuras anidadas en todos los puntos, no sólo en un determinado número de ellos. Esta concepción de los fractales implica esta definición recursiva: un objeto fractal es aquel en el que cada elemento es también un objeto fractal (similar).

Suelen aparecer en el estudio de los sistemas caóticos.

En matemáticas, y dicho de forma más sencilla, estas curiosidades geométricas son figuras cuya estructura es invariable a los cambios de escala. Así, si se amplía una parte de un fractal, se encuentra una estructura que se repite una y otra vez, cada vez más pequeña... hasta llegar al infinito. Se pueden encontrar detalles similares a escalas arbitrariamente pequeñas o grandes.

¿Quién inventó la palabra fractal? Los fractales de Mandelbrot

Muchos ejemplos de fractales, como el copo de Koch o la alfombra de Serpiński, se descubrieron a finales del siglo XIX, pero fue el matemático Benoît Mandelbrot quien, en 1975, llamó la atención sobre estos objetos y su ubicuidad en la naturaleza, creó el adjetivo "fractal" a partir de la raíz latina fractus, que significa "roto", "irregular", y la inflexión "-al" en los adjetivos "naval" y "banal" (plurales: naval, banal, fractal): navales, banales, fractales); el uso impuso entonces el sustantivo un fractal para designar una figura o ecuación de geometría fractal.

Benoît Mandelbrot define los fractales como objetos que no pierden sus detalles o proporciones si se amplían o reducen, incluso a escala microscópica. Esta propiedad recuerda, por supuesto, a phi, la proporción áurea, 1,618, para la que se mantiene la misma proporción sagrada y esencial en cada sección de la línea o del rectángulo

De hecho, las propiedades de phi y los fractales tienen que ver con el crecimiento.

¿Dónde se encuentran los fractales?

Existen dos tipos de fractales, los geométricos y los naturales o aleatorios.

Estructuras fractales naturales en la naturaleza

La estructura de un copo de nieve es una de las manifestaciones más claras de los fractales en la naturaleza. Esto puede deberse a que el copo se forma cuando el agua cae libremente del cielo, atravesando la atmósfera sin interferencias. Ninguna otra materia cristaliza en tantas formas.

A pesar de esta variedad, la geometría que gobierna el crecimiento de una rama de la escama también gobernará el crecimiento de las otras ramas. Se produce una especie de coordinación geométrica. Independientemente de la escala utilizada para observar el producto final, el patrón es idéntico

Sin embargo, estas figuras no tienen la claridad de la geometría euclidiana, donde todo es recto, circular o curvo a lo largo de un cono.

El copo de Koch

En 1904, el matemático Helge Von Koch (1870-1924), desarrolló un modelo matemático para producir un patrón de escamas único. Comenzó con un simple triángulo equilátero para generar la curva del copo.

1) Dibuja primero un triángulo equilátero.
2) Superponer un segundo triángulo equilátero invertido para formar un hexagrama.
3) Cada vértice es un triángulo equilátero que apunta hacia fuera, sobre el que se superpone un triángulo equilátero invertido.
4) Borra las líneas del hexagrama restante en el triángulo original.
5) Repite este proceso para cada punto del hexagrama original.
6) Repetir de forma fractal, con un nivel de detalle cada vez más fino.

El procedimiento para generar un fractal de Koch que represente un copo de nieve puede no reflejar lo que ocurre en la naturaleza en un día frío, pero proporciona una representación matemática bastante precisa de la naturaleza fractal de los copos de nieve.

También demuestra que si el hombre estuviera dotado de una visión sobrenatural, podría, con un lápiz extrafino, repetir la figura hasta llegar a lo infinitamente pequeño.

Plantas

Los fractales rugosos se observan fácilmente en la naturaleza. Estas formas tienen una estructura autosimilar a gran escala pero finita: nubes, copos de nieve, montañas, sistemas fluviales, coliflor o brócoli y vasos sanguíneos.

Los árboles y los helechos son fractales por naturaleza y pueden modelarse por ordenador mediante un algoritmo recursivo. La naturaleza recursiva es evidente en estos ejemplos: la rama de un árbol o la fronda de un helecho son réplicas en miniatura del conjunto: no son idénticas, pero sí similares.


Espirales logarítmicas

El matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650) fue el primero en describir la espiral, que ahora se llama espiral logarítmica. Sin embargo, fue el matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705), fascinado por sus extraordinarias propiedades matemáticas, quien la llamó spira mirabilis, "espiral maravillosa" en latín.

A medida que aumenta el tamaño de esta espiral, su forma se mantiene igual, ya que se expande a un ritmo constante en una progresión geométrica. Estas hermosas espirales, también llamadas equiangulares o exponenciales, se encuentran en toda la naturaleza, en los seres vivos, en los huracanes galácticos y en otros fenómenos naturales.

La concha del nautilus tiene algunas de las espirales más bellas, gráciles y reconocibles de la naturaleza.

El nautilus llena de gas la cámara anterior y la cierra completamente con un tapón de nácar al pasar de una cámara a la siguiente, más grande. Ocupa sólo la última de las logias, pero deja tras de sí un pequeño hilo que serpentea hasta la logia original. Cada compartimento adicional es proporcional al anterior, una figura geométrica cuyo ángulo con el centro original se mantiene a medida que crece.

La concha y la espiral de Mandelbrot derivan, de hecho, de la espiral de Fibonacci, también llamada espiral áurea.

Nubes

Sorprendentemente, la nube, que se forma por condensación de vapor de agua, tiene un contorno roto y fragmentado que presenta el mismo patrón cuando se amplía, tiene una superficie con una curvatura fractal.

Al igual que el agua, el aire adopta la forma de una espiral durante los tornados o las tormentas; lo vemos claramente en la imagen siguiente.

Fractales en el universo

En cosmología, el modelo de universo fractal se refiere a un modelo cosmológico en el que la estructura y distribución de la materia tiene una dimensión fractal en varios niveles. En términos más generales, se refiere a la utilización o aparición de fractales en el estudio del Universo y su materia.

Las primeras pistas sobre la teoría de un universo fractal las dio el matemático Benoît Mandelbrot. En su libro "Fractal Objects: Form, Chance and Dimension" (Objetos fractales: forma, azar y dimensión), publicado en 1977, menciona que las galaxias tienen una distribución fractal y esboza las propiedades de dicha distribución.

Posteriormente, en 1986, el físico teórico ruso Andrei Linde escribió el artículo Eternally Existing Self-Reproducing Chaotic Inflationary Universe en la revista Physica Scripta, donde utilizaba los fractales para explicar su visión del universo. Al año siguiente, el profesor italiano Luciano Pietronero publicó un primer modelo de galaxias según una distribución fractal en un artículo publicado en la revista Physica A.

Los fractales en matemáticas: geometría, triángulo y otras figuras

En matemáticas, un fractal es un espacio métrico cuya dimensión de Hausdorff (denotada δ) es estrictamente mayor que la dimensión topológica. Esta fue al menos la definición dada inicialmente por Benoît Mandelbrot, pero rápidamente la sustituyó por una definición más vaga, que permitía incluir la curva de Hilbert, por ejemplo.

Algunas formas tienen una complejidad más o menos importante.

La dimensión de Hausdorff de un espacio métrico (X,d) es un número real positivo o cero, posiblemente infinito.
La curva de Hilbert es una curva continua que rellena un cuadrado.

Veamos algunos ejemplos de fractales en el campo de las matemáticas.

La alfombra Sierpiński

La alfombra Sierpiński (creada en 1916), que lleva el nombre de Wacław Sierpiński, es un fractal obtenido a partir de un cuadrado. La alfombra se hace cortando el cuadrado en nueve cuadrados iguales con una cuadrícula de tres por tres, y quitando la pieza central, y aplicando este procedimiento indefinidamente a los ocho cuadrados restantes.

El triángulo de Sierpiński

El triángulo de Sierpiński, o tamiz de Sierpińsky, también llamado por Mandelbrot la articulación de Sierpiński, es un fractal, llamado así por Wacław Sierpiński que lo describió en 1915.

El triángulo de Sierpiński puede obtenerse a partir de un triángulo "completo", mediante un número infinito de repeticiones que consiste en dividir el tamaño del triángulo por dos y luego unirlos por triplicado por sus vértices para formar un nuevo triángulo. Por lo tanto, con cada repetición, el triángulo es del mismo tamaño, pero "cada vez menos lleno".

Construcción del triángulo de Sierpiński:

La esponja de Menger

La esponja de Menger, a veces llamada esponja de Menger-Sierpinski, es un sólido fractal. Es la extensión en una tercera dimensión del conjunto de Cantor y del tapete de Sierpiński. Fue descrita por primera vez por el matemático austriaco Karl Menger (Menger 1926).

Esta figura, salida directamente de la imaginación de Karl Menger, se asemeja a una esponja en forma de cubo con multitud de poros conectados entre sí. Menger quería demostrar que se podía obtener una superficie infinita en un volumen finito.

Construcción: Si dividimos cada una de las aristas en 3 partes iguales, cada cara estará formada por un damero de nueve cuadrados. Empecemos por vaciar el medio. Al añadir las paredes de esta parte hueca, la superficie de la estructura es entonces mayor que la del cubo original. Esto aumenta la superficie sin cambiar el volumen.

Cada uno de los 8 cuadrados restantes se divide ahora en un diminuto tablero de 9, cuya figura central se vuelve a ahuecar... y así sucesivamente, hasta llegar a porciones microscópicas. Al ahuecar el volumen original, la superficie aumenta, aunque cada vez en menor medida, pero... sin límite. Al final, tendremos un encaje tridimensional que no se extiende más allá del cubo original.

Eponge de Menger
Para más información, aquí está el enlace a Wikipedia.

Arte y diseño fractal: cuando las matemáticas riman con la belleza

El arte fractal representa la combinación de arte y matemáticas. Esta reciente forma de arte utiliza ordenadores para crear imágenes a partir de fórmulas matemáticas. Las obras de arte fractal suelen tener una apariencia geométrica, patrones complicados y una gran cantidad de detalles.

El arte fractal es una forma de arte algorítmico que consiste en producir imágenes, animaciones e incluso música a partir de objetos fractales. El arte fractal se desarrolló a partir de mediados de la década de 1980.

Es un tipo de arte digital.

De hecho, el arte fractal rara vez se dibuja o pinta a mano, sino que se crea con la ayuda de ordenadores, que sí son capaces de calcular funciones fractales y generar imágenes a partir de ellas. Fue la llegada de los ordenadores lo que hizo posible el desarrollo de este arte, que requiere una gran potencia de cálculo.

El aumento de la potencia de los ordenadores ha permitido la creación de programas que permiten el cálculo de imágenes tridimensionales en la infografía, ofreciendo así las funciones y efectos habitualmente reservados a los programas clásicos de modelado tridimensional (luces, luces volumétricas, desenfoque de profundidad, atmósfera, reflexión/refracción de ciertos materiales, texturas, etc.).

El proceso artístico para crear un fractal 3D es el mismo que para un fractal 2D. El hecho de que Kerry Mitchell (artista estadounidense conocido por su arte algorítmico y fractal, que ha sido expuesto en el Museo de la Naturaleza en el Arte, la Conferencia de los Puentes y el Centro de Arte Digital de Los Ángeles, y por su "Fractal Art Manifesto") escribió que el arte fractal era"un subgrupo del arte visual bidimensional" no significa que las obras en 3D no sean arte fractal, sino que los fractales en 3D simplemente no existían aún en 1999 porque la potencia de los ordenadores de la época no lo permitía, y nadie había producido aún una versión tridimensional del conjunto de Mandelbrot.

¿Dónde se puede encontrar arte fractal?

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¿Cómo hacer o dibujar fractales?

Como puede ver, dibujar arte fractal a mano es muy complejo y parece un intento que probablemente fracase.

El software generador de fractales es cualquier tipo de software gráfico que genera imágenes de fractales. Existen muchos programas para generar fractales, tanto gratuitos como comerciales. Investiga en Google

Para concluir

Hay una gran variedad de ejemplos de fractales, desde paisajes fractales hasta alvéolos pulmonares. Caracterizados por su espacio tridimensional y sus propiedades de autosimilaridad, los fractales están por todas partes y algunos de ellos no le dejarán indiferente

Este es el caso de nuestros mandalas vibratorios que se están extendiendo por todo el mundo.

No dude en recorrer la tienda para descubrir su increíble riqueza y belleza.

Este es el final de este artículo. Espero que te haya gustado, no dudes en comentar, compartir y suscribirte a nuestro boletín para estar informado de futuros lanzamientos.

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Fuentes :

Géométrie sacrée, Éditions Véga
La proporcion aurea, Éditions Dervy

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