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La proporción áurea : 7 fascinantes aplicaciones
¿Qué ha hecho que un número sea tan emocionante como para que persista en el imaginario colectivo durante más de dos mil años? ¿Tan universal que aparece en los escritos de un antiguo matemático griego, en los dibujos de un arquitecto del siglo XX y en el argumento de un best-seller convertido en película de éxito?
Tan presente que es visible en el mayor monumento arquitectónico del mundo antiguo, en los cuadros del más eminente pintor del Renacimiento y en la estructura atómica de los minerales casi cristalinos.
¿Qué es la proporción áurea o la proporción divina?
Phi, Número Áureo, Proporción Áurea, Proporción Divina, son expresiones sinónimas que designan una proporción aritmética. Este número no es una medida ni una dimensión, es un cociente de dos cantidades homogéneas.
Sí, el número áureo es el valor de un cociente determinado por una proporción.
¿Cómo se calcula la proporción áurea?
El número áureo proviene de una proporción que sólo tiene dos letras a y b, de manera que
:a / b = (a + b) / aEsto
es el principio de la economía.
Con esta relación, obtenemos una ecuación de segundo grado.
En efecto, planteando a / b = Phi, obtenemos: φ² = φ + 1
Ecuación que tiene una raíz positiva:
Un rectángulo áureo es un rectángulo en el que la relación entre la longitud y la anchura es igual al número Phi.
¿Cuál es el valor del Número de Oro?
Phi ( Φ = 1,618033988749895... ), es simplemente un número irracional como pi ( p = 3,14159265358979... ), pero con muchas propiedades matemáticas inusuales. A diferencia de pi, que es un número trascendental, phi es la solución de una ecuación cuadrática.
La razón, o proporción, determinada por Phi (1,618 ...) era conocida por los griegos como la "división de una línea en la razón extrema y media" y por los artistas del Renacimiento como la "Divina Proporción", razón y número áureo.
¿Por qué la proporción áurea se llama proporción divina?
Cuando las partes de un todo tienen una relación armoniosa entre sí y con el todo, podemos hablar de belleza, de armonía. La naturaleza ha inventado esas proporciones en su creación y el hombre, por intuición, las ha reconocido.
Esta belleza, esta armonía es generada por la relación entre la longitud y la anchura de un rectángulo o entre la altura y la profundidad de una nave... resulta que esta relación, tan a menudo presente, es el número áureo llamado Divina Proporción o Sección Áurea.
Es gracias a este número que los artistas del siglo V a.C. provocaban la emoción de los espectadores: esta misma emoción, esta misma extraordinaria impresión de pureza, para la vista y para el espíritu, se siente ante una abadía, una catedral, una simple iglesia de pueblo construida en la Edad Media.
¿De dónde viene la proporción áurea?
La proporción áurea en la antigüedad
La construcción siempre ha sido la gran ambición del hombre y el descubrimiento del número áureo se remonta probablemente a la antigüedad.
El número áureo se encuentra más de 20 veces en la estrella de 5 puntas, y la división por 5 puede haber sido sugerida por la gran variedad de flores de 5 pétalos, las cinco ramas de una estrella de mar, la estructura pentagonal del erizo de mar y sus 5 dientes... Observemos también que el hombre tiene 5 dedos en cada extremidad y 5 sentidos que son representaciones pentagonales.
El número 5 da lugar a una relación con Phi.
Aunque los monumentos anteriores a la civilización helénica, sobre todo los del antiguo Egipto (la pirámide de Keops tiene 47 siglos de antigüedad), revelan el uso empírico del número áureo, los textos escritos que tratan de sus propiedades, o más bien de las figuras geométricas asociadas a él, sólo aparecieron con los griegos.
Euclides, Pitágoras y muchos otros dieron rigor matemático a la noción de número áureo.
Tres siglos antes de nuestra era, Euclides, con sus "Elementos", hizo una importante aportación en este campo en forma de demostración geométrica: construcción de un triángulo isósceles con cada uno de los ángulos de la base duplicado por el ángulo restante (es decir, en este famoso triángulo isósceles cada uno de los ángulos de la base vale 72 grados y el ángulo del vértice es igual a 36 grados)
Obsérvese también que 72 grados es la quinta parte de 360 grados y 36 grados la décima parte de 360 grados: ángulos que se encuentran en el pentágono regular.
Euclides dedujo de este triángulo la construcción del pentágono regular, observando que las diagonales de este pentágono se cruzan en el centro y en el extremo derecho y que la relación entre diagonal y lado es igual a Phi.
Termina sus "Elementos" con la inscripción en una esfera de los cinco cuerpos regulares platónicos: tetraedro, octaedro, hexaedro (cubo), icosaedro y dodecaedro.
Meditando sobre la Sección Áurea, Vitruvio concluyó:"Como los miembros del cuerpo se corresponden entre sí, así deben ser las partes del edificio".
La proporción áurea en la Edad Media
En los siglos XI y XII, época en la que la fe se escribía en piedra, se construyeron en Francia 80 catedrales, 500 grandes iglesias en monasterios y ciudades importantes y decenas de miles de iglesias parroquiales. Es la época del arte románico: formas geométricas, vibraciones sonoras y luminosas se unen para reproducir el modelo del universo que celebra la grandeza del creador.
Al final del periodo románico, la búsqueda del cielo y la luz se hizo más importante; las catedrales, que al principio eran achatadas, desarrollaron bóvedas cada vez más altas, dando lugar al arte gótico.
El arte gótico nació en Francia a mediados del siglo XII (la primera bóveda gótica se construyó en 1944 en la catedral de Saint-Denis). Las principales características de este arte gótico son el uso de bóvedas de crucería, el arco apuntado en lugar del arco de medio punto y el arco de contrafuerte para sostener la bóveda principal
La catedral es un libro de piedra que exalta la fe, la armonía y la belleza.
La proporción áurea en el Renacimiento
En el siglo XV, sabemos que los "Elementos" de Euclides fueron retomados por Luca Pacioli, un monje franciscano y profesor de teología sagrada que, a través de Euclides y Pitágoras, sabía perfectamente cómo dividir un segmento de una recta en la razón media y la extrema.
Su libro trata de la arquitectura, las proporciones del cuerpo humano y las letras del alfabeto
Fue en la época de Pacioli, es decir, en el Renacimiento, cuando los grandes artistas, como su amigo Leonardo da Vinci, adoptaron la Divina Proporción como canon de Belleza, de Armonía. Trataremos este tema un poco más adelante.
La proporción áurea en el siglo XX
Esta Divina Proporción fue, en el siglo XX, designada con la letra Phi en referencia a Fidias, el más grande y famoso de los artistas que fue en el siglo V a.C. pintor, orfebre y arquitecto. Construyó el Partenón de Atenas basándose en la armonía y la belleza del rectángulo de oro.
En 1931, Matila Ghyka escribió un libro muy importante sobre el Número de Oro. Paul Valéry, Le Corbusier, Cartier Bresson y muchos otros destacaron el importante papel de este número en el arte. Le Corbusier, en particular, construyó su famoso "Modulor", que declaró ser "una herramienta de trabajo, una herramienta precisa" o "un teclado, un piano, un piano afinado"
Todavía hoy, la pirámide del Louvre o la Geoda de París son testigos de su presencia y otros campos tan sorprendentes como el fútbol o la cirugía estética encuentran en el Número de Oro el mejor equilibrio de las formas del rostro o del cuerpo.
¿Dónde podemos encontrar la proporción áurea? 7 aplicaciones
1- La proporción áurea y la belleza, en el cuerpo humano
Desde la antigüedad se ha observado que gobierna el equilibrio arquitectónico del cuerpo humano. El ombligo divide el cuerpo según el Número de Oro, debe corresponder a la proporción entre la altura total del cuerpo y la altura del ombligo sobre el suelo.
Por ejemplo, cuando se ve la Venus de Milo de perfil, desde el nivel de la planta de los pies, la relación entre la altura de la estatua y la distancia entre la planta de los pies y el ombligo es igual a Phi.
Es de nuevo Phi quien debe regular la relación armoniosa entre la altura y la anchura de una cabeza humana. Este último ejemplo nos lleva al canon de proporción de Vitruvio, dibujado por Leonardo da Vinci, que data del siglo XV, y que sigue presente hoy en día, incluso en la publicidad.
El hombre de Vitruvio y la proporción áurea
Un dibujo realizado hacia 1490, Proporzioni del Corpo Umano Secondo Vitruvio (Las proporciones del cuerpo humano según Vitruvio), se encuentra entre las obras más famosas de Leonardo.
Como su nombre indica, se basa en las proporciones humanas ideales imaginadas por el arquitecto e ingeniero militar romano Vitruvio. En el libro III de su tratado De architectura, Vitruvio menciona que la figura humana es la principal fuente de proporción en la arquitectura, siendo el cuerpo ideal de ocho cabezas:
"El centro del cuerpo está naturalmente en el ombligo. En efecto, si un hombre se acuesta de espaldas con las manos y los pies extendidos, si una de las ramas de un compás se apoya en el ombligo, la otra, describiendo una línea circular, tocará los dedos de los pies y de las manos.
Y como se puede figurar un círculo con el cuerpo así extendido, también se puede encontrar un cuadrado en él: pues si tomamos la medida que se encuentra entre las extremidades de los pies y la parte superior de la cabeza, y la relacionamos con las de los brazos abiertos, veremos que la anchura responde a la altura como en un cuadrado hecho con una escuadra."
Vitruvio midió todo el cuerpo humano en fracciones enteras de la altura de un hombre.
El hombre de Vitruvio también presenta unas dimensiones que sugieren una relación del Número de Oro. Entre la parte superior de la frente y la planta de los pies, los siguientes órganos se sitúan en puntos del Número de Oro :
- El ombligo (más a menudo asociado a un Número de Oro de la altura total);
- Los pezones;
- Las clavículas.
En cuanto a la distancia entre el codo y la punta de los dedos, la base de la mano comienza en el punto de la sección dorada.
2- La proporción áurea y la secuencia de Fibonacci en la naturaleza
En el año 1202, Leonardo Fibonacci escribió en su libro "Liber Abaci" una sencilla secuencia numérica que es la base de una increíble relación matemática detrás de phi. Esta secuencia era conocida ya en el siglo VI de nuestra era por los matemáticos indios, pero fue Fibonacci quien la introdujo en Occidente tras sus viajes por el mundo mediterráneo y el norte de África. También se le conoce como Leonardo Bonacci, ya que su nombre deriva en italiano de palabras que significan "hijo de (los) Bonacci".
Empezando por el 0 y el 1, cada nuevo número de la secuencia es simplemente la suma de los dos anteriores.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 . . .
Esta secuencia aparece en el margen derecho de una página del Liber Abaci, cuyo ejemplar se encuentra en la Biblioteca Nacional de Florencia.
La relación entre la secuencia de Fibonacci y la proporción áurea es la siguiente: la proporción de cada par sucesivo de números en la secuencia se aproxima a Phi (1,618. . .) , porque 5 dividido por 3 es 1,666. . ., y 8 dividido por 5 es 1,60. Sin embargo, esta relación no se descubrió hasta alrededor de 1600, cuando Johannes Kepler y otros empezaron a hablar de ella.
Los cocientes de los números sucesivos de la secuencia de Fibonacci convergen rápidamente a Phi. A partir del número 40 de la secuencia, la relación es precisa con 15 decimales.
En la naturaleza, hay un gran número de flores con 5 pétalos distribuidos regularmente.
En el corazón del girasol se entrelazan dos redes de espirales, cada una de las cuales se enrolla en una dirección.
Estas espirales, llamadas "parásitos", tienen una particularidad: sus números son iguales a dos términos consecutivos de la secuencia de Fibonacci iguales a 21 y 34, 34 y 55 o 55 y 89.
3 - La proporción áurea en la arquitectura: ¿para qué sirve?
El número áureo y las pirámides
Durante miles de años, los arquitectos de edificios sagrados, como los círculos megalíticos, las pirámides de Egipto y los templos griegos, se han esforzado por dar a sus obras unas dimensiones particulares.
Las pirámides son números enteros que pueden combinarse geométricamente y cuyo valor numérico es importante, incluso simbólico. Los templos, dedicados a Dios o dioses, se construían para establecer un puente entre el hombre y sus deidades.
La geometría de las catedrales góticas y de los templos griegos no es la misma, pero la intención era la misma. Ciertas reglas de armonía, como las de las catedrales góticas, respondían a dimensiones inspiradas en las fuentes bíblicas.
La proporcionalidad se utilizó con el propósito específico de acercar a Dios al hombre. Las catedrales, como la de Milán, Chartres o la catedral de San Pablo de Londres, se construyeron según datos geométricos y dimensiones con números significativos.
Los antiguos edificios megalíticos, como Stonehenge, muestran cómo la geometría del cielo y las unidades de medida sagradas se aplicaron a la construcción de algunos de los templos más impresionantes del hombre.
La pirámide de Keops, conocida como la "Gran Pirámide", construida hace unos 4.700 años, es el poliedro dorado, dentro del cual hay muchos triángulos que contienen Phi, incluyendo la relación entre la altura de la cara triangular y la mitad del lado de la base cuadrada que es igual a la raíz de Phi.
En los números románicos y góticos, Phi es omnipresente.
Le Corbusier y la proporción áurea
Seamos claros, no soy en absoluto fan de las obras de Charles-Edouard Jeanneret, conocido como Le Corbusier, nacido en Suiza en 1887. Pero dejó su huella en su tiempo.
En sus cincuenta años, Le Corbusier desarrolló un sistema de proporciones basado en la proporción áurea y el cuerpo humano, el Modulor.
Este sistema, que intentaba unir el sistema métrico y el anglosajón, pretendía ser un estándar universal de medidas para que ingenieros, arquitectos y delineantes lo utilizaran para crear formas bellas y prácticas. Representó esta "gama armoniosa de medidas" mediante la forma abstracta de un hombre de 1,83 m, con el brazo levantado y doblado en línea con la parte superior de la cabeza, convenientemente situado en la proporción áurea entre el ombligo y la parte superior del brazo levantado.
El profesor de arquitectura australiano Michael J. Ostwald lo describe así:
"Para Le Corbusier, la industria necesitaba un sistema de medición proporcional que pudiera conciliar las necesidades del cuerpo humano con la belleza inherente a la sección de oro. Si se pudiera concebir un sistema de este tipo, capaz de hacer simultáneamente la sección áurea proporcional a la altura de un hombre, constituiría una base ideal para la normalización universal.
En su intento de utilizar las proporciones matemáticas del cuerpo humano para mejorar tanto la apariencia como la función de la arquitectura, Le Corbusier siguió los pasos de Vitruvio, Leonardo da Vinci, Pacioli y los maestros del Renacimiento que utilizaron el estudio de las matemáticas y la naturaleza para dar a sus obras maestras una calidad divina.
Tras formular su nuevo sistema a mediados de los años 40, Le Corbusier lo aplicó a varios edificios, entre ellos:
- La sede de las Naciones Unidas en Nueva York (terminada en 1952);
- Varios complejos de edificios modernistas en Europa, empezando por la Cité Radieuse de Marsella (terminada en 1953);
- El convento de Sainte-Marie-de-la-Tourette, cerca de Lyon (terminado en 1961)
Hoy en día el modulor se ha convertido en parte del proceso de diseño de casi todos los arquitectos, las medidas se han vuelto automáticas como una regla universal que utilizamos sin darnos cuenta a menor escala, por supuesto. Estas mediciones se han convertido en algo esencial para el desarrollo de un espacio de calidad.
4- La proporción áurea en el arte
"Sin matemáticas no hay arte" Luca Pacioli
"Donde la mente no trabaja con la mano, no hay arte" Leonardo da Vinci.
Un artista francés del siglo XIII representó al dios del génesis, el gran arquitecto, con una brújula, el universo como en otras iluminaciones de este periodo, observamos que el artista ha introducido involuntariamente en su icono, proporciones o ángulos relacionados con el Número Áureo.
Se pueden dar muchos otros ejemplos para demostrar la presencia del Número de Oro en todos los ámbitos. Esta presencia puede ser natural, inconsciente o inteligentemente calculada.
Existen otras proporciones armoniosas en la naturaleza y en la producción humana, pero la Divina Proporción es ciertamente la que más ha inspirado, y desde la más remota antigüedad, al hombre a buscar la belleza en armonía consigo mismo y con la naturaleza.
Todo es armonía y belleza con la proporción áurea.
Probablemente una de las mejores ilustraciones del uso de la proporción áurea sea la Última Cena de Leonardo da Vinci, pintada entre 1494 y 1498. Varios planos y elementos arquitectónicos muestran relaciones muy precisas de la proporción áurea.
Por ejemplo, si observamos el espacio entre el tablero de la mesa y el techo, vemos que la parte superior de la cabeza de Jesús está en su punto central; la parte superior de las ventanas se sitúa en la proporción áurea. La anchura de los escudos es el número áureo de la anchura de los arcos circulares; las bandas del escudo central se sitúan en los puntos del número áureo y su anchura
Según algunos, incluso las posiciones de los discípulos en torno a la mesa respetan las proporciones áureas en relación con Jesús.
Los ejemplos son numerosos.
También se podrían mencionar las pinturas de Miguel Ángel en la Capilla Sixtina del Vaticano. De hecho, el análisis de la Capilla Sixtina ha revelado más de dos docenas de casos de dimensiones de proporción áurea en elementos importantes de la composición (con muchos rectángulos áureos).
Probablemente el ejemplo más llamativo sea el punto en el que el dedo de Adán es tocado por el de Dios en la emblemática Creación de Adán, un punto situado en la proporción áurea de sus dimensiones horizontal y vertical.
Miguel Ángel retomó este tema de las figuras tocando el punto de la proporción áurea en otros cuadros de la Capilla Sixtina.
5- La proporción áurea en el diseño de logotipos y productos
Veamos ahora un aspecto mucho más contemporáneo de la proporción áurea.
Además de su uso en la pintura, la arquitectura y los gráficos, la proporción áurea también está presente en el diseño de muchos objetos. Por ejemplo, muchos instrumentos de cuerda presentan proporciones de proporción áurea, como los famosos violines Stradivarius. Reconocidos por la calidad de su madera, su construcción y su sonido, estos codiciados violines se venden en subastas por millones de dólares.
En otros casos, la proporción áurea añade estilo y atractivo estético. Las empresas invierten millones en el diseño de su marca y su logotipo, ya que éstos deben captar en un instante el corazón y la mente del mayor número posible de clientes potenciales.
He aquí algunos ejemplos.
Google llamó la atención del mundo del diseño en 2015 cuando anunció un importante cambio en su logotipo, fuentes y otros varios símbolos e iconos de la marca, pero ha mantenido y mejorado inteligentemente su uso de phi para determinar el tamaño y el espaciado de las letras. Por ejemplo, si te fijas bien, está claro que la relación entre la altura de la G mayúscula y la L mayúscula y la altura de las demás letras minúsculas (excepto la pequeña cola de la G) es igual a phi.
La relación entre la anchura de la G mayúscula y la anchura de la G minúscula también es una proporción áurea, al igual que la posición del cuadro de búsqueda en relación con la parte superior del logotipo y la parte inferior del botón "buscar" de la página principal de Google, que es, recordemos, el sitio web más visitado del mundo.
Sin duda, Google no es el primero en utilizar la proporción áurea para su marca. Mida los tres óvalos que componen el logotipo de Toyota y verá que la anchura del óvalo pequeño y estrecho del centro está delimitada por dos secciones de oro de la anchura del óvalo mayor. El borde interior del óvalo central superior se sitúa en la sección dorada de la altura total del logotipo.
6- La proporción áurea y el análisis bursátil
Veamos ahora una aplicación más que increíble, ya que se refiere al análisis de los mercados de valores.
Los movimientos de los precios de las acciones reflejan en gran medida las opiniones, evaluaciones y expectativas humanas. Un estudio del psicólogo matemático Vladimir Lefebvre demostró que los humanos presentan evaluaciones positivas y negativas de las opiniones que tienen en una proporción que se aproxima a phi, con un 61,8% de positivas y un 38,2% de negativas.
La phi (1,618), la proporción áurea y los números de la serie de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) se han utilizado con éxito para analizar y predecir los movimientos bursátiles, conocidos como "retrocesos".
Forbes ASAP publicó un artículo sobre el trabajo del científico Stephen Wolfram en los autómatas celulares (reglas subyacentes que determinan un fenómeno aparentemente aleatorio) en el que afirmaba que "este armazón puede contener el secreto del comportamiento bursátil, los ordenadores pensantes y el futuro de la ciencia".
Una empresa de investigación ha demostrado que los mercados están perfectamente estructurados, explicando que los seres humanos, como parte de la naturaleza, crean relaciones geométricas perfectas en su comportamiento, al igual que una araña teje una tela geométricamente perfecta sin ser consciente de su increíble hazaña.
Esta empresa de investigación aplica las espirales logarítmicas que se encuentran en las conchas con relaciones dinámicas en 3D para vincular un movimiento del mercado con otros.
La proporción áurea, o phi, aparece con suficiente frecuencia en el momento de los máximos, mínimos y puntos de resistencia de los precios como para que añadir esta herramienta al análisis técnico del mercado pueda ayudar a identificar los retrocesos de Fibonacci, los principales puntos de inflexión en los movimientos de los precios.
7- La proporción áurea y los símbolos
Los símbolos de la geometría sagrada no son una excepción a esta Divina Proporción, proporción áurea o el Número de Oro que es la clave de la armonía en el mundo que nos rodea.
Podemos ver que las civilizaciones, las religiones o los movimientos políticos han tomado prestados sus símbolos del patrimonio colectivo de la humanidad, para luego desaparecer en las arenas del tiempo. Pero los símbolos permanecen y no pertenecen a nadie. Siempre están ahí.
Un símbolo armonioso, equilibrado y respetuoso con la Divina Proporción, que ha sido elegido durante mucho tiempo por un grupo de humanos y con el que establecemos una relación consciente, reúne las condiciones para ser un símbolo de éxito.
El mundo de los símbolos es el mundo de la vida. La vida funciona con símbolos y se manifiesta a través de ellos, todo objeto es un símbolo que contiene vida. Para penetrar en la vida, hay que trabajar con los símbolos y, a la inversa, para descubrir los símbolos y comprender todo lo que contienen, hay que vivir la vida real. Los símbolos son semillas que puedes plantar.
El mandala, el Flor de la vida, etc., nos muestra lo que debemos procurar, un equilibrio perfecto de todos los mundos. Nuestros símbolos son poderosas herramientas para despertar y sanar. Míralos con los ojos de tu hijo, con asombro, sin poner ningún concepto, prejuicio sobre la virtud, la energía que llevan. Así obtendrá resultados maravillosos.
¿Por qué nos atraen tanto los símbolos de la geometría sagrada como Flor de la vida, o los mandalas vibracionales?
Simplemente porque los símbolos nos conectan con lo vivo, nos reconectan con nuestra alma, con el ser que realmente somos (y por lo tanto no el ser que nos hicieron creer que éramos). Todos los símbolos vibratorios hablan a nuestra alma de forma inconsciente.
Nos atraen tanto porque son una invitación a caminar hacia nosotros mismos, a caminar hacia la belleza y el esplendor, a ser finalmente uno con ellos.
Los símbolos tienen un poder mágico: es un poder transformador.
Son una ayuda para la concentración y nos animan a ser más fieles a lo que somos por dentro. No sólo son herramientas de despertar, sino también de evolución espiritual, si sabemos utilizarlas.
Escucha a tu corazón y elige la o las que más te hablen.
Y esta es una maravillosa oportunidad para ti porque ofrecemos la mayor selección de símbolos vibracionales del mercado. Así que escucha tus sentimientos.
Para concluir
Espero que hayas disfrutado de este viaje de descubrimiento de la proporción áurea.
Este número divino y áureo es excepcional por sus propiedades matemáticas y sus frecuentes apariciones en la geometría, la naturaleza, el arte o la arquitectura.
Y lo más sorprendente es que todavía se utiliza hoy en día. ¿Por qué?
Te sorprenderá descubrir que la proporción áurea ha estado delante de tus ojos todo el tiempo, empujándote suavemente a comprar un producto o utilizar un servicio.
Según Darrin Crescebzi, antiguo director de diseño de innovación en Interbrand Nueva York, considerado por la revista Fast Company como una de las "personas más creativas del mundo empresarial":
"Los más proclives a la visión -pintores, arquitectos, diseñadores, observadores y documentadores tradicionalmente entusiastas tanto de la naturaleza como de la condición humana, a los que podemos agradecer gran parte de lo que sabemos del mundo- han incorporado durante siglos esta relación a su trabajo por su equilibrio intrínsecamente atractivo entre simetría y asimetría.
Este es el final de este artículo. Espero que te haya gustado, no dudes en comentar, compartir y suscribirte a nuestro boletín para estar informado de futuros lanzamientos.
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Fuentes:
Geometría del número áureo de la editorial Chalagam Geometría sagrada de la editorial Vega
www.goldennumber.net
Articulo original el 20/06/2021; actualizado el 15/07/2022
