Eintauchen in die faszinierende Welt der Fraktale
Fraktale sind großartige Werkzeuge, um die Welt und andere komplexe Strukturen zu verstehen. Wir verwenden sie zur Analyse von Finanzprozessen, Biologie, Informatik und Mathematik, Bildkompression, Biowissenschaften und -technologien und vielen anderen Disziplinen.
Fraktale: Definition
Eine fraktale Figur ist ein mathematisches Objekt, das in allen Maßstäben eine ähnliche Struktur aufweist.
Es ist ein "unendlich zerstückeltes" geometrisches Objekt, dessen Details in einem willkürlich gewählten Maßstab beobachtet werden können. Wenn man in einen Teil der Figur hineinzoomt, kann man die ganze Figur wiederfinden; man spricht dann von " selbstähnlich ".
Fraktale werden auf paradoxe Weise definiert, ähnlich wie russische Puppen, die eine mehr oder weniger maßstabsgetreue Figur enthalten: Fraktale Objekte können als Strukturen betrachtet werden, die in jedem Punkt - und nicht nur in einer bestimmten Anzahl von Punkten - gigantisch sind. Diese Auffassung von Fraktalen impliziert diese rekursive Definition: Ein fraktales Objekt ist ein Objekt, bei dem jedes Element auch ein (ähnliches) fraktales Objekt ist.
Sie tauchen häufig bei der Untersuchung chaotischer Systeme auf.
In der Mathematik, und etwas einfacher ausgedrückt, sind diese geometrischen Kuriositäten Figuren, deren Struktur durch Skalierung invariant ist. Wenn Sie also in einen Teil eines Fraktals hineinzoomen, finden Sie eine Struktur vor, die sich immer und immer wieder wiederholt, immer kleiner wird - bis ins Unendliche. Man kann dort ähnliche Details in willkürlich kleinen oder großen Maßstäben finden.
Wer hat das Wort Fraktal erfunden? Die Fraktale von Mandelbrot
Zahlreiche Beispiele für Fraktale, wie die Koch'sche Flocke oder der Serpiński-Teppich, wurden Ende des 19. Jahrhunderts entdeckt, doch es war der Mathematiker Benoît Mandelbrot, der 1975 die Aufmerksamkeit auf diese Objekte und ihre Allgegenwart in der Natur lenkte, schuf bei dieser Gelegenheit das Adjektiv "fraktal" aus der lateinischen Wurzel fractus, die "gebrochen", "unregelmäßig" bedeutet, und der Desinuenz "-al", die in den Adjektiven "naval" und "banal" vorkommt (Plural: navals, banals, fractals); der Sprachgebrauch setzte später das Substantiv une fractale durch, um eine Figur oder eine Gleichung der fraktalen Geometrie zu bezeichnen.
Benoît Mandelbrot definiert Fraktale als Objekte, die weder ihre Details noch ihre Proportionen verlieren, wenn man sie vergrößert oder verkleinert, auch nicht im mikroskopischen Maßstab. Diese Eigenschaft erinnert natürlich an phi, den Goldenen Schnitt, 1,618, bei dem in jedem Abschnitt der Linie oder des Rechtecks die gleiche heilige und wesentliche Proportion erhalten bleibt.
Tatsächlich haben die Eigenschaften von phi und der Fraktale etwas mit Wachstum zu tun.
Wo findet man Fraktale?
Es gibt zwei Arten von Fraktalen, die geometrischen Fraktale und die natürlichen oder zufälligen Fraktale.
Natürliche fraktale Strukturen in der Natur
Die Struktur einer Schneeflocke ist eine der deutlichsten Erscheinungsformen von Fraktalen in der Natur. Das mag daran liegen, dass die Schneeflocke entsteht, wenn Wasser frei vom Himmel fällt und die Atmosphäre durchdringt, ohne auf irgendwelche Störungen zu stoßen. Kein anderes Material kristallisiert in so vielen Formen.
Trotz dieser Vielfalt wird die Geometrie, die das Wachstum eines Zweiges der Schneeflocke steuert, auch das Wachstum der anderen Zweige steuern. Es findet eine Art geometrische Koordination statt. Unabhängig davon, in welchem Maßstab man das fertige Produkt betrachtet, ist das Muster identisch.
Allerdings weisen diese Figuren nicht die Klarheit der euklidischen Geometrie auf, wo alles entweder gerade, kreisförmig oder als Kurve entlang eines Kegels erzeugt wird.
Kochs Schneeflocke
1904 entwickelte der Mathematiker Helge von Koch (1870-1924) ein mathematisches Modell, mit dem man ein einziges Schneeflockenmuster erzeugen konnte. Er ging von einem einfachen gleichseitigen Dreieck aus, um die Kurve dieser Schneeflocke zu erzeugen.
1) Zeichnen Sie zuerst ein gleichseitiges Dreieck.
2) Legen Sie ein zweites umgekehrtes gleichseitiges Dreieck übereinander, um ein Hexagramm zu bilden.
3) Jeder Eckpunkt ist ein nach außen weisendes gleichseitiges Dreieck, über das Sie ein umgekehrtes gleichseitiges Dreieck legen.
4)) Löschen Sie die im ursprünglichen Dreieck verbliebenen Striche des Hexagramms.
5) Wiederholen Sie diesen Vorgang für jede Spitze des ursprünglichen Hexagramms.
6) Wiederholen Sie fraktal bis zu einer immer feineren Detailstufe.
Das Verfahren, mit dem ein Koch-Fraktal erzeugt wird, das eine Schneeflocke darstellt, spiegelt vielleicht nicht das wider, was an einem kalten Tag in der Natur passiert, aber es ermöglicht eine ziemlich genaue mathematische Darstellung der fraktalen Natur der Schneeflocke.
Es zeigt auch, dass der Mensch, wenn er mit einer übernatürlichen Vision ausgestattet wäre, mit einem extradünnen Bleistift die Figur wiederholen könnte, bis er das unendlich Kleine erreicht hat.
Pflanzen
Ungefähre Fraktale sind in der Natur leicht zu beobachten. Diese Formen haben eine selbstähnliche Struktur auf einer großen, aber endlichen Skala: Wolken, Schneeflocken, Berge, Flussnetze, Blumenkohl oder Brokkoli und Blutgefäße.
Bäume und Farne sind von fraktaler Natur und können mithilfe eines rekursiven Algorithmus im Computer modelliert werden. Die rekursive Natur ist in diesen Beispielen offensichtlich - der Ast eines Baumes oder die Schleuder eines Farns sind Miniaturnachbildungen des Ganzen: nicht identisch, aber von ähnlicher Natur.
Logarithmische Spiralen
Der französische Mathematiker und Philosoph René Descartes (1596-1650) beschrieb als Erster die Spirale, die wir heute als logarithmische Spirale bezeichnen. Der Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli (1654-1705), der von ihren außergewöhnlichen mathematischen Eigenschaften fasziniert war, nannte sie jedoch spira mirabilis, lateinisch für "wunderbare Spirale".
Wenn die Größe dieser Spirale zunimmt, bleibt ihre Form gleich, da sie sich in einer geometrischen Progression mit einer konstanten Rate verbreitert. Diese schönen Spiralen, die auch als Äquiwinkel- oder Exponentialspiralen bezeichnet werden, sind überall in der Natur zu finden, bei Lebewesen, in galaktischen Wirbelstürmen und anderen Naturphänomenen.
Die Schale der Nautilus weist einige der schönsten, anmutigsten und erkennbarsten Spiralen der Natur auf.
Wenn die Nautilus von einer Kammer in eine andere, größere übergeht, füllt sie die vorherige mit Gas und verschließt sie vollständig mit einem Perlmuttpfropfen. Sie bewohnt nur die letzte der Logen, hinterlässt aber einen winzigen Faden, der sich bis zur ursprünglichen Loge zurückrollt. Jede zusätzliche Loge ist proportional zur vorherigen, eine geometrische Figur, deren Winkel zum ursprünglichen Zentrum während des Wachstums erhalten bleibt.
Die Muschel und die Mandelbrotspirale stammen tatsächlich von der Fibonacci-Spirale ab, die auch als Goldene Spirale bekannt ist.
Wolken
Erstaunlicherweise hat die Wolke, die durch die Kondensation von Wasserdampf entsteht, eine zerbrochene und zerklüftete Kontur, die das gleiche Muster aufweist, wenn man den Maßstab ändert: Sie hat eine fraktal gekrümmte Oberfläche.
Wie Wasser nimmt auch die Luft während eines Tornados oder Sturms die Form einer Spirale an; das sehen wir deutlich auf dem Bild unten.
Fraktale im Universum
In der Kosmologie bezeichnet das Modell des fraktalen Universums ein kosmologisches Modell, bei dem die Struktur und die Verteilung der Materie auf mehreren Ebenen eine fraktale Dimension besitzt. Allgemeiner ausgedrückt entspricht es der Verwendung oder dem Anschein von Fraktalen bei der Untersuchung des Universums und der Materie, aus der es besteht.
Die ersten Ansätze zur Theorie eines fraktalen Universums entstanden mit dem Mathematiker Benoît Mandelbrot. In seinem 1977 erschienenen Buch "Fraktale Objekte: Form, Zufall und Dimension" erwähnt er, dass Galaxien eine fraktale Verteilung haben und skizziert die Eigenschaften einer solchen Verteilung.
1986 schrieb der russische theoretische Physiker Andrej Linde den Artikel Eternally Existing Self-Reproducing Chaotic Inflationary Universe in der Zeitschrift Physica Scripta, in dem er Fraktale verwendet, um seine Vision des Universums zu erklären. Im Jahr darauf veröffentlichte der italienische Professor Luciano Pietronero in einem Artikel in der Zeitschrift Physica A eine erste Modellierung von Galaxien nach einer fraktalen Verteilung.
Fraktale in der Mathematik: Geometrie, Dreiecke und andere Figuren
In der Mathematik ist ein Fraktal ein metrischer Raum, dessen Hausdorff-Dimension (mit δ bezeichnet) strikt größer ist als die topologische Dimension. Dies war zumindest die ursprüngliche Definition von Benoît Mandelbrot, die er jedoch bald durch eine vager gefasste Definition ersetzte, die es ermöglichte, beispielsweise die Hilbert-Kurve einzubeziehen.
Einige Formen haben eine mehr oder weniger große Komplexität.
Weitere Informationen:
Die Hausdorff-Dimension eines metrischen Raums (X,d) ist eine positive oder null reelle Zahl, eventuell unendlich.
Die Hilbert-Kurve ist eine kontinuierliche Kurve, die ein Quadrat ausfüllt.
Lassen Sie uns gemeinsam einige Beispiele von Fraktalen aus dem Bereich der Mathematik betrachten.
Der Teppich von Sierpiński
Der Sierpiński-Teppich (entstanden 1916), benannt nach Wacław Sierpiński, ist ein Fraktal, das aus einem Quadrat gewonnen wird. Der Teppich wird hergestellt, indem man das Quadrat mit einem drei mal drei Raster in neun gleich große Quadrate zerlegt, das Mittelstück entfernt und dieses Verfahren auf unbestimmte Zeit auf die restlichen acht Quadrate anwendet.
Das Sierpiński-Dreieck
Das Sierpiński-Dreieck oder Sierpińsky-Sieb, von Mandelbrot auch Sierpińskis Zylinderkopfdichtung genannt, ist ein Fraktal, benannt nach Wacław Sierpiński, der es 1915 beschrieb.
Das Sierpiński-Dreieck kann aus einem "vollen" Dreieck durch unendlich viele Wiederholungen entstehen, die darin bestehen, die Größe des Dreiecks zu halbieren und dann die Dreiecke in dreifacher Ausführung an ihren Spitzen aneinanderzulegen, um ein neues Dreieck zu bilden. Bei jeder Wiederholung ist das Dreieck also gleich groß, wird aber "immer weniger voll".
Konstruktion des Sierpiński-Dreiecks :
Der Menger-Schwamm
Der Menger-Schwamm, manchmal auch Menger-Sierpinski-Schwamm genannt, ist ein fraktaler Festkörper. Es handelt sich um die Erweiterung der Cantor-Menge und des Sierpiński-Teppichs in eine dritte Dimension. Sie wurde erstmals von dem österreichischen Mathematiker Karl Menger beschrieben (Menger 1926).
Diese Figur, die direkt der Fantasie von Karl Menger entsprungen ist, ähnelt einem Schwamm, dessen Form einem Würfel gleicht, der von einer Vielzahl von Poren durchbrochen ist, die alle miteinander verbunden sind. Menger wollte damit beweisen, dass man eine unendliche Fläche in einem endlichen Volumen erhalten kann.
Aufbau: Wenn wir jede Kante in drei gleiche Teile teilen, besteht jede Fläche aus einem Schachbrettmuster mit neun Quadraten. Beginnen wir damit, das mittlere zu leeren. Wenn wir die Wände dieses ausgehöhlten Teils hinzufügen, ist die Fläche der Struktur dann größer als die des ursprünglichen Würfels. Dadurch vergrößern wir die Oberfläche, ohne das Volumen zu verändern.
Jedes der verbleibenden 8 Quadrate wird nun in ein winziges Schachbrettmuster aus 9 Quadraten unterteilt, dessen zentrale Figur wieder ausgehöhlt wird ... und so weiter, bis wir mikroskopisch kleine Teile erreicht haben. Durch das Aushöhlen des Ausgangsvolumens wächst die Fläche immer weiter an, zwar um eine immer kleinere Menge, aber ... ohne jede Begrenzung. Am Ende haben wir eine dreidimensionale Spitze, die nicht über den ursprünglichen Würfel hinausgeht.
.jpg)
Mehr dazu. Hier ist der Link zu Wikipedia.
Fraktalkunst und -design: Wenn sich Mathematik auf Schönheit reimt
Fraktale Kunst steht für die Verbindung von Kunst und Mathematik. Diese neuere Kunstform nutzt Computer, um Bilder aus mathematischen Formeln herzustellen. Werke der Fraktalkunst weisen oft ein geometrisches Aussehen, komplizierte Muster und einen großen Detailreichtum auf.
Fraktalkunst ist eine algorithmische Kunstform, bei der Bilder, Animationen und sogar Musik aus fraktalen Objekten erzeugt werden. Die Fraktalkunst entwickelte sich ab Mitte der 1980er Jahre.
Sie ist eine Art digitale Kunst.
Fraktalkunst wird selten von Hand gezeichnet oder gemalt, sondern vielmehr mithilfe von Computern geschaffen, die in der Tat in der Lage sind, fraktale Funktionen zu berechnen und daraus Bilder zu erzeugen. Das Aufkommen von Computern hat die Entwicklung dieser Kunstform erst möglich gemacht, da sie eine hohe Rechenleistung erfordert.
Die zunehmende Leistungsfähigkeit der Computer ermöglichte die Entwicklung von Software, die die Berechnung von dreidimensionalen Bildern in computergenerierten Bildern ermöglicht und somit Funktionen und Effekte anbietet, die normalerweise der klassischen dreidimensionalen Modellierungssoftware vorbehalten sind (Lichter, volumetrische Lichter, Tiefenunschärfe, Atmosphäre, Reflexion/Brechung bestimmter Materialien, Texturen, ...).
Der künstlerische Ansatz zur Erstellung eines 3D-Fraktals ist derselbe wie bei einem 2D-Fraktal. Die Tatsache, dass Kerry Mitchell (ein amerikanischer Künstler, der für seine algorithmische und fraktale Kunst bekannt ist, die im Nature in Art Museum, bei The Bridges Conference und im Los Angeles Center for Digital Art ausgestellt wurde, und für sein "Fractal Art Manifesto") geschrieben hat, dass Fraktalkunst"eine Untergruppe der zweidimensionalen visuellen Kunst" sei, bedeutet also nicht, dass die in 3D gemachten Umsetzungen keine Fraktalkunst sind, sondern dass es 1999 einfach noch keine 3D-Fraktale gab, da die damalige Computerleistung dies nicht zuließ und noch niemand eine dreidimensionale Version der Mandelbrot-Menge produziert hatte.
Wo kann man Fraktalkunst finden?
Nun, Sie sollten wissen, dass alle unsere Mandalas Fraktal-Mandalas sind!
Alle unsere Mandalas sind in 3D. Aus diesem Grund sieht es oft so aus, als würden sie sich bewegen! Aber das liegt auch daran, dass sie lebendig sind, da sie durch die Verbindung mit der Weisheit der lebendigen Natur geschaffen wurden.
Ihre Komplexität ist so groß, dass sie unvergleichlich sind, Sie werden nirgendwo sonst etwas Ähnliches finden!
Das macht auch den Reichtum unseres Shops aus, denn wir haben über 200 hoch schwingende Mandalas, die Ihnen zur Verfügung stehen, um Sie im Alltag zu begleiten. Jedes strahlt eine ihm eigene Energie aus
Wie kann ich Fraktale machen oder zeichnen?
Wie Sie vielleicht schon bemerkt haben, ist das Zeichnen von Fraktalkunst von Hand sehr komplex und scheint ein Versuch zu sein, der wahrscheinlich zum Scheitern verurteilt ist.
Fraktalerzeugungssoftware ist jede Art von Grafiksoftware, die Bilder von Fraktalen erzeugt. Es gibt viele verfügbare Programme zur Erzeugung von Fraktalen, sowohl kostenlose als auch kommerzielle. Suchen Sie mit Google!
Zum Abschluss
Es gibt eine Vielzahl von Beispielen für Fraktale, von fraktalen Landschaften bis hin zu Lungenbläschen. Fraktale, die sich durch einen dreidimensionalen Raum und selbstähnliche Eigenschaften auszeichnen, sind überall um Sie herum zu finden, und einige von ihnen werden Sie nicht gleichgültig lassen!
Dies ist der Fall bei unseren Schwingungsmandalas, die sich heute rund um den Globus verbreiten.
Zögern Sie nicht, in unserem Shop zu stöbern, um ihren unglaublichen Reichtum und ihre Schönheit zu entdecken.
Wir sind am Ende dieses Artikels angelangt. Ich hoffe, er hat Ihnen gefallen. Zögern Sie nicht, zu kommentieren, zu teilen und unseren Newsletter zu abonnieren, um über zukünftige Veröffentlichungen informiert zu werden.
Melden Sie sich für unseren Newsletter an!
Wenn Sie noch tiefer in die Welt der Symbole eintauchen möchten, heißen wir Sie in diesem Bereich / Shop willkommen, der der heiligen Geometrie gewidmet ist. Hier finden Sie eine Vielzahl von fraktalen Mandalas.
Symbolik des Kreises: Das Geheimnis einer perfekten Form
Ein gesunder Geist in einem gesunden Körper: Wahre Balance
Blume-des-Lebens-Mandala: Eine Lebenskunst im Alltag
Kann die heilige Geometrie die Matrix hacken?
Spirituelle Alchemie: Schlüssel zur inneren Wandlung
