I frattali - affascinanti oggetti matematici

- Categoria: Geometria sacra

I frattali sono ottimi strumenti per comprendere il mondo e altre strutture complesse. Li utilizziamo per analizzare i processi finanziari, la biologia, l'informatica e la matematica, la compressione delle immagini, le scienze e le tecnologie della vita e molte altre discipline.

Frattali: definizione

Una figura frattale è un oggetto matematico che presenta una struttura simile a tutte le scale.

Si tratta di un oggetto geometrico "infinitamente frammentato" i cui dettagli possono essere osservati a una scala arbitrariamente scelta. Zoomando su una parte della figura, è possibile trovare l'intera figura; si dice quindi che è "autosimile ".

I frattali sono definiti in modo paradossale, un po' come le bambole russe che contengono una figura più o meno identica alla scala: gli oggetti frattali possono essere visti come strutture annidate in tutti i punti, non solo in un certo numero di punti. Questa concezione dei frattali implica questa definizione ricorsiva: un oggetto frattale è un oggetto in cui ogni elemento è anche un oggetto frattale (simile).

Compaiono spesso nello studio dei sistemi caotici.

In matematica, più semplicemente, queste curiosità geometriche sono figure la cui struttura è invariante al variare della scala. Così, se si ingrandisce una parte di un frattale, si troverà una struttura che si ripete in continuazione, sempre più piccola... fino a raggiungere l'infinito. Dettagli simili si possono trovare a scale arbitrariamente piccole o grandi.

Chi ha inventato la parola frattale? I frattali di Mandelbrot

Molti esempi di frattali, come il fiocco di Koch o il tappeto di Serpiński, sono stati scoperti alla fine del XIX secolo, ma è stato il matematico Benoît Mandelbrot che, nel 1975, ha richiamato l'attenzione su questi oggetti e sulla loro ubiquità in natura, ha creato l'aggettivo "frattale" dalla radice latina fractus, che significa "rotto", "irregolare", e dall'inflessione "-al" negli aggettivi "navale" e "banale" (plurali: navali, banali, frattali); l'uso ha poi imposto il sostantivo frattale per indicare una figura o un'equazione della geometria frattale.

Benoît Mandelbrot definisce i frattali come oggetti che non perdono i loro dettagli o le loro proporzioni se vengono ingranditi o rimpiccioliti, anche su scala microscopica. Questa proprietà ricorda naturalmente phi, il rapporto aureo, 1,618, per il quale la stessa proporzione sacra ed essenziale è mantenuta in ogni sezione della linea o del rettangolo

In effetti, le proprietà di phi e dei frattali hanno a che fare con la crescita.

Dove si trovano i frattali?

Esistono due tipi di frattali: i frattali geometrici e i frattali naturali o casuali.

Strutture frattali naturali in natura

La struttura di un fiocco di neve è una delle manifestazioni più chiare dei frattali in natura. Ciò può essere dovuto al fatto che il fiocco si forma quando l'acqua cade liberamente dal cielo, attraversando l'atmosfera senza interferenze. Nessun'altra materia si cristallizza in così tante forme.

Nonostante questa varietà, la geometria che governa la crescita di un ramo della scaglia governerà anche la crescita degli altri rami. Si verifica una sorta di coordinamento geometrico. Indipendentemente dalla scala utilizzata per osservare il prodotto finito, il modello è identico

Tuttavia, queste figure non hanno la chiarezza della geometria euclidea, dove tutto è rettilineo, circolare o curvo lungo un cono.

Il fiocco di Koch

Nel 1904, il matematico Helge Von Koch (1870-1924) sviluppò un modello matematico per la produzione di un singolo modello di fiocco. Ha iniziato con un semplice triangolo equilatero per generare la curva della scaglia.

1) Disegnare prima un triangolo equilatero.
2) Sovrapporre un secondo triangolo equilatero rovesciato per formare un esagramma.
3) Ogni vertice è un triangolo equilatero rivolto verso l'esterno, sul quale si sovrappone un triangolo equilatero rovesciato.
4) Cancellare le linee dell'esagramma rimanenti nel triangolo originale.
5) Ripetere questo procedimento per ogni punto dell'esagramma originale.
6) Ripetere in modo frattale, con un livello di dettaglio sempre più fine.

La procedura per generare un frattale di Koch che rappresenta un fiocco di neve può non rispecchiare ciò che accade in natura in una giornata fredda, ma fornisce una rappresentazione matematica abbastanza accurata della natura frattale dei fiocchi di neve.

Dimostra anche che se l'uomo fosse dotato di una visione soprannaturale, potrebbe, con una matita finissima, ripetere la figura fino a raggiungere l'infinitamente piccolo.

Piante

I frattali grossolani sono facilmente osservabili in natura. Queste forme hanno una struttura autosimile su una scala grande ma finita: nuvole, fiocchi di neve, montagne, sistemi fluviali, cavolfiori o broccoli e vasi sanguigni.

Gli alberi e le felci sono di natura frattale e possono essere modellati al computer utilizzando un algoritmo ricorsivo. La natura ricorsiva è evidente in questi esempi: il ramo di un albero o la fronda di una felce sono repliche in miniatura dell'insieme: non identiche, ma di natura simile.


Spirali logaritmiche

Il matematico e filosofo francese René Descartes (1596-1650) fu il primo a descrivere la spirale, oggi chiamata spirale logaritmica. Tuttavia, fu il matematico svizzero Jacob Bernoulli (1654-1705), affascinato dalle sue straordinarie proprietà matematiche, a chiamarla spira mirabilis, "spirale meravigliosa" in latino.

Man mano che le dimensioni di questa spirale aumentano, la sua forma rimane invariata, poiché si espande a un ritmo costante in una progressione geometrica. Queste bellissime spirali, chiamate anche equiangoli o spirali esponenziali, si trovano ovunque in natura, negli esseri viventi, negli uragani galattici e in altri fenomeni naturali.

La conchiglia del nautilus presenta alcune delle spirali più belle, aggraziate e riconoscibili in natura.

Il nautilus riempie di gas la camera precedente e la chiude completamente con un tappo di madreperla mentre passa da una camera all'altra, una camera più grande. Occupa solo l'ultima delle logge, ma lascia dietro di sé un piccolo filo che si snoda fino alla loggia originaria. Ogni compartimento aggiuntivo è proporzionale al precedente, una figura geometrica il cui angolo con il centro originale viene mantenuto man mano che cresce.

La conchiglia e la spirale di Mandelbrot derivano infatti dalla spirale di Fibonacci, detta anche spirale aurea.

Nuvole

Sorprendentemente, la nuvola, che si forma per condensazione del vapore acqueo, ha un contorno spezzato e frammentato che presenta lo stesso schema quando viene ingrandito, ha una superficie con una curvatura frattale.

Come l'acqua, l'aria assume la forma di una spirale durante i tornado o le tempeste; lo vediamo chiaramente nell'immagine sottostante.

I frattali nell'universo

In cosmologia, il modello dell'universo frattale si riferisce a un modello cosmologico in cui la struttura e la distribuzione della materia hanno una dimensione frattale a diversi livelli. Più in generale, si riferisce all'uso o alla comparsa dei frattali nello studio dell'Universo e della sua materia.

I primi accenni alla teoria dell'universo frattale sono stati dati dal matematico Benoît Mandelbrot. Nel suo libro "Fractal Objects: Form, Chance and Dimension" (Oggetti frattali: forma, caso e dimensione), pubblicato nel 1977, l'autore menziona che le galassie hanno una distribuzione frattale e delinea le proprietà di tale distribuzione.

Successivamente, nel 1986, il fisico teorico russo Andrei Linde scrisse l'articolo Eternally Existing Self-Reproducing Chaotic Inflationary Universe (Universo inflazionario caotico eternamente esistente) sulla rivista Physica Scripta, dove utilizzò i frattali per spiegare la sua visione dell'universo. L'anno successivo, il professore italiano Luciano Pietronero pubblicò un primo modello di galassie secondo una distribuzione frattale in un articolo pubblicato nella rivista Physica A.

I frattali in matematica: geometria, triangoli e altre figure

In matematica, un frattale è uno spazio metrico la cui dimensione di Hausdorff (indicata con δ) è strettamente maggiore della dimensione topologica. Questa era almeno la definizione data inizialmente da Benoît Mandelbrot, che però la sostituì rapidamente con una definizione più vaga, che permetteva di includere, ad esempio, la curva di Hilbert.

Alcune forme hanno una complessità più o meno importante.

La dimensione di Hausdorff di uno spazio metrico (X,d) è un numero reale positivo o zero, eventualmente infinito.
La curva di Hilbert è una curva continua che riempie un quadrato.

Vediamo alcuni esempi di frattali nel campo della matematica.

Il tappeto Sierpiński

Il tappeto di Sierpiński (creato nel 1916), che prende il nome da Wacław Sierpiński, è un frattale ottenuto da un quadrato. Il tappeto viene realizzato tagliando il quadrato in nove quadrati uguali con una griglia di tre per tre, rimuovendo il pezzo centrale e applicando questo procedimento all'infinito agli otto quadrati rimanenti.

Il triangolo di Sierpiński

Il triangolo di Sierpiński, o setaccio di Sierpiński, chiamato da Mandelbrot anche giunto podalico di Sierpiński, è un frattale che prende il nome da Wacław Sierpiński che lo descrisse nel 1915.

Il triangolo di Sierpiński può essere ottenuto da un triangolo "pieno", attraverso un numero infinito di ripetizioni che consistono nel dividere per due le dimensioni del triangolo e poi unirle in triplice copia per i loro vertici per formare un nuovo triangolo. Ad ogni ripetizione, il triangolo è quindi della stessa dimensione, ma "sempre meno pieno".

Costruzione del triangolo di Sierpiński:

La spugna di Menger

La spugna di Menger, talvolta chiamata spugna di Menger-Sierpinski, è un solido frattale. È l'estensione in una terza dimensione dell'insieme di Cantor e del tappeto di Sierpiński. È stata descritta per la prima volta dal matematico austriaco Karl Menger (Menger 1926).

Questa figura, nata direttamente dall'immaginazione di Karl Menger, assomiglia a una spugna a forma di cubo con una moltitudine di pori tutti collegati tra loro. Menger voleva dimostrare che una superficie infinita può essere ottenuta in un volume finito.

Costruzione: se dividiamo ogni spigolo in 3 parti uguali, ogni faccia sarà formata da una scacchiera di nove quadrati. Cominciamo a svuotare quello centrale. Aggiungendo le pareti di questa parte scavata, la superficie della struttura diventa più grande di quella del cubo originale. In questo modo si aumenta la superficie senza modificare il volume.

Ciascuno degli 8 quadrati rimanenti viene ora suddiviso in una minuscola scacchiera di 9, la cui figura centrale viene nuovamente scavata... e così via, fino a raggiungere porzioni microscopiche. Man mano che il volume originale viene scavato, la superficie aumenta, anche se in misura sempre minore, ma... senza alcun limite. Alla fine, avremo un merletto tridimensionale che non si estende oltre il cubo originale.

Eponge de Menger
Per maggiori informazioni, ecco il link a Wikipedia.

Arte e design frattale: quando la matematica fa rima con bellezza

L'arte frattale rappresenta la combinazione di arte e matematica. Questa recente forma d'arte utilizza i computer per creare immagini a partire da formule matematiche. Le opere d'arte frattali hanno spesso un aspetto geometrico, motivi complicati e una grande ricchezza di dettagli.

L'arte frattale è una forma di arte algoritmica che consiste nel produrre immagini, animazioni e persino musica a partire da oggetti frattali. L'arte frattale si è sviluppata a partire dalla metà degli anni Ottanta.

È una sorta di arte digitale.

In effetti, l'arte frattale è raramente disegnata o dipinta a mano, ma piuttosto creata con l'aiuto dei computer, che sono infatti in grado di calcolare le funzioni frattali e di generare immagini a partire da esse. È stato l'avvento dei computer a rendere possibile lo sviluppo di quest'arte, che richiede una grande potenza di calcolo.

L'aumento della potenza dei computer ha permesso la creazione di software che consentono di calcolare immagini tridimensionali in computer grafica, offrendo così le funzioni e gli effetti solitamente riservati ai classici software di modellazione tridimensionale (luci, luci volumetriche, sfocatura di profondità, atmosfera, riflessione/rifrazione di determinati materiali, texture, ecc.)

Il processo artistico per la creazione di un frattale 3D è lo stesso di un frattale 2D. Il fatto che Kerry Mitchell (artista americano noto per la sua arte algoritmica e frattale, che è stata esposta al Nature in Art Museum, alla Bridges Conference e al Los Angeles Center for Digital Art, e per il suo "Manifesto dell'arte frattale") ha scritto che l'arte frattale è"un sottogruppo dell'arte visiva bidimensionale" non significa che le opere in 3D non siano arte frattale, ma che i frattali 3D semplicemente non esistevano ancora nel 1999 perché la potenza dei computer dell'epoca non lo permetteva e nessuno aveva ancora prodotto una versione tridimensionale dell'insieme di Mandelbrot.

Dove si può trovare l'arte frattale?

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Come creare o disegnare i frattali?

Come si può vedere, disegnare a mano l'arte frattale è molto complesso e sembra un tentativo destinato a fallire.

Il software generatore di frattali è un tipo di software grafico che genera immagini di frattali. Sono disponibili molti programmi per la generazione di frattali, sia gratuiti che commerciali. Fate le vostre ricerche su Google!

Per concludere

Esiste un'ampia varietà di esempi di frattali, dai paesaggi frattali agli alveoli polmonari. Caratterizzati da uno spazio tridimensionale e da proprietà di autosimilarità, i frattali sono tutti intorno a voi e alcuni di essi non vi lasceranno di certo indifferenti!

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Fonti :

Géométrie sacrée, Éditions Véga
Le nombre d'or, Éditions Derv

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